Bamberg P., Sternberg S.'s A Course in Mathematics for Students of Physics, vol. 1 PDF

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By Bamberg P., Sternberg S.

ISBN-10: 052125017X

ISBN-13: 9780521250177

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Muni du produit de convolution défini par (1), l'espace M 1 (G) des mesures bornées sur G devient une algèbre de Banach commutative admettant comme élément unité la mesure de Dirac en e, élément neutre de G. µ(s). v(t) s,t = L f(u). L u µ(s). v(t) . st=u Dans le cas général on a encore un morphisme ô : s --+ ôs de G dans le groupe des éléments inversibles de M 1 (G) ; mais il n'est pas continu (car l'ensemble des ôs est discret) et son image n'engendre pas M 1 (G) (mais l'ensemble des mesures bornées atomiques) ; il est probable que l'on éviterait ces inconvénients en mettant sur M 1 (G) une topologie moins fine que celle de la norme ...

F µ est la restriction de la transformée de Gelfand de µ à G considéré comme sous-ensemble de M1(G) (cf. pro p. 2. e. F envoient M 1 (G) dans P(G). Définition. F (ou IF) est une sous-algèbre autoadjointe partout dense de ~ 0 (G) (d'après le théorème de Stone-Weierstrass); elle sera notée A (G). 2. 1, ex. 6; on a donc dans ce cas A(G) = ~(G) = ~ 0 (G); 42 ANALYSE HARMONIQUE COMMUTATIVE [CHAP. 2] on démontre ([39]) que A(G) n'est égale à ~ 0 (G) que si Gest fini. Exemples. dµ(x) est appelée transformée de Fourier ou intégrale de Fourier deµ; on dit aussi« de FourierStieltjes »lorsqueµ n'est pas une fonction; le fait que la transformée de Fourier d'une fonction intégrable soit nulle à l'infini est connu sous le nom de théorème de RiemannLebesgue.

7. QUELQUES LEMMES. 1. dx. L'ensemble I = L 1 (G) n ct' 00 (G) est un idéal de L 1 (G) (cf. dµix); (1) si/ E P 1(G) et g E L 1(G), on a donc sif' E P 1(G) µr(gf ') = t/l(f * (g * f')) = t/l(f' * (g * /)) = µr(gf); d'où l'on déduit par continuité 't/

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