New PDF release: Analyse : Intégrale, séries de Fourier, équations

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By Arnaudies

ISBN-10: 2729858229

ISBN-13: 9782729858223

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Example text

Soit T] G R+ J y —A un module de continuité uniforme de ^ sur R pour que \x - y \ < TJ. En utilisant Tinégalité de la norme des intégrales, on a: py-A (2) I j i f m i x -t)d t < IIm{x - i) I dt I / Jx-A f M ( f ) M W d t = |æ-y|A/(/)AW)< J et de même: I p x+A (3) I f {t)^(x - 1) di < J/y4-i4 y+A I I y**c*4*i4 / M{f)M{il>) dt < | x - î / | M ( / ) M ( V > ) < I Jy+A Jy+A D’autre part, puisque pour tout f G R , on a \ { x - t ) - { y - t ) \ = \ x - y \ < 7 j et donc Ir p { x - t ) - ^ { y - t ) \ < s ' = eA (i+ M (i))(i+ m )) ■ (4) I r/*y+i4 * / I m py+A (0(1 - 1) - 0(y - t)) dt < £' / I A I JJ yy -- A py+A Im \dt

Soit deux réels a et A 0{x,t) = E{t) H- Wx{t ) , où £? a (x,f)i t S{x^t) et t ^ 0{t) (où x > 0) est LebesgueQ est de classe . 0{x^ t) dt converge normalement sur tout compact de tels que 0 < a < 1 < A . Pour tout (x, t ) , on a été définie en 3-d) ci-dessus, et où Wx{t) = pour tout t > 0. Pour tout (x,t) € [a,i4] x R * , on a \wx{t) \ < Fa,A{t), avec Fa,A{t) = ^ 1-a -t— * Il ®st clair que la fonction E -f Fa^A est Lebesgue-intégrable sur R * (elle est continue, se prolonge par continuité en 0, et décroît exponentiellement en 4-00 ).

Soit donc C e IR* . On déduit aisément du théorème de Beppo Lévi que: (23) ’„ (t)d i^ da: —^ fil J - c \Jv<\t \ < X «Ai,C ►+00,x>r) OÙ X7<| t | 7/, l’intégrale Kn,c,x du premier membre de (23) est majorée par | . Fixons un réel X > r]. x = Comme que: ^n(t) I/ ( X - Í) - / (X ) I /(x - 0 - /(ir) I d x ) dt =j I di^ dt i \ f ( x - t ) - f{x) \ d i < /_ ~ (| / ( i - 1) I + If{x) |) da: = 2 Mi { f ) , on voit 2M i(/)g < i Kn , c , x <2 Mi ( f ) [ ^n{t ) dt < h<\t\

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Analyse : Intégrale, séries de Fourier, équations différentielles by Arnaudies


by Michael
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